Решение примеров с простыми дробями онлайн. Как решать уравнения с дробями
Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.
В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !
Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.
Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:
В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.
Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.
Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.
Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.
Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.
Например, 5 целых 3/4.
Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.
Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.
- Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
- Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
- Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.
Как решать дроби. Примеры.
К дробям применимы самые разные арифметические операции.
Приведение дроби к общему знаменателю
Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.
Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей
Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20
Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю
Ответ: 15/20
Сложение и вычитание дробей
Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.
Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3
Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4
Умножение и деление дробей
Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:
- Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
- Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.
Например:
На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.
Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.
Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).
Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
- Иногда НОЗ – очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
- Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
- Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
- Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.
- В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить 2 дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
- В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.
Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].
Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.
Информация для родителей
Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».
Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.
Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.
Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».
Решение уравнений на сложение и вычитание
Как найти неизвестное
слагаемое
Как найти неизвестное
уменьшаемое
Как найти неизвестное
вычитаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка
x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка
Решение уравнений на умножение и деление
Как найти неизвестный
множитель
Как найти неизвестное
делимое
Как найти неизвестный
делитель
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка
y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка
8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка
Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:
Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:
Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».
Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.
Порядок решения линейных уравнений
Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .
Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),
Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.
Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.
Особые случаи решения уравнений
- Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».
27 (x
- 3) = 0
27 не равно 0, значит x
- 3 = 0
У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:
Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:
Найти общий знаменатель;
Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
Привести подобные члены;
Основные свойства уравнений
В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.
Как решить уравнение с неизвестным в дроби
Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей. Как, например, в уравнении ниже.
В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.
I способ решения
Сведение уравнения к пропорции
При решении уравнений способом пропорции необходимо выполнить следующие действия:
Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования.
Будем работать с правой частью уравнения. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь. Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.
Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.
II способ решения
Сведение к линейному уравнению без дробей
Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.
Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби «
Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.
Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.
Решение уравнений с дробями 5 класс
Решение уравнений с дробями. Решение задач на дроби.
Просмотр содержимого документа
«Решение уравнений с дробями 5 класс»
— Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
— Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
При решении уравнений необходимо пользоваться правилами решения уравнений, свойствами сложения и вычитания.
Решение уравнений с применением свойств.
Решение уравнений с использованием правил.
Выражение в левой части уравнения является суммой.
слагаемое + слагаемое = сумма.
Чтобы найди неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
уменьшаемое – вычитаемое = разность
Чтобы найди неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Выражение в левой части уравнения является разностью.
Чтобы найди неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.
В левой части уравнения выражение является суммой.