Задачи на пропорциональное деление. Составление системы уравнений

Методика обучения решению задач на нахождения четвертого пропорционального.

Задача на нахождение четвертого пропорционального – это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым.

Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального. Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Основным способом решения задач такого вида в начальной школе – арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.

Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами – подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:

Цена, количество, стоимость;

Масса одного предмета, число предметов, общая масса;

Емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

Выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;

Расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.

Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

В НШ решаются задачи только на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин, решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида. Или составление задачи по записанной таблице. Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.

В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а несколько позднее третьего и четвертого видов. Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин.

При первоначальном ознакомлении применять чертеж нецелесообразно, т.к. учащиеся усваивают формальные рассуждения, т.е. происходит преждевременное сокращение рассуждений. Разбор задачи изображать в виде графической схемы тоже нецелесообразно, т.к. она начнется с двух вопросов и вызывает затруднение учащихся.

Для закрепления решения задач на пропорциональное деление в дальнейшем включаются задачи с другими величинами и другие задачи из этой группы. Используются упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.

Пропорциональное деление

деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a , a отношение есть n , то надо разделить a на две части x и (а-х ) так, чтобы отношение x к (a-x ) равнялось бы n. Выразив это уравнением и решив его относительно x , получим:

x = an /(1 + n ).

К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x , среднепропорциональную двум данным длинам a и b ; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:

Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …

- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова

История науки … Википедия

Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь

Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …

Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия

Книги

• Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
• Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
• Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно

Цель

Решить задачи. Сделать выводы, ответив на вопросы.

Выполнение работы

Методические указания.

Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.

Для получения зачета необходимо решить все задачи и сделать выводы, если работа не зачтена, требуется взять ее на доработку и сдать на проверку снова.

Задача 1. Число 2 500 000, разделить прямо пропорционально ряду чисел: 35, 15 и 10.

Решение: Правило: При делении числа на части пропорционально одному ряду величин следует разделить это число на сумму этих величин и полученное частное (коэффициент пропорциональности) умножить на каждую из них.

Разделим 2 500 000 руб. пропорционально ряду чисел:

35, 15 и 10.

найдем их сумму 35+15+10=60

найдем коэффициент пропорциональности (число делим на сумму)

найдем прибыль каждого:

• 41 667*35=1 458 000 руб.

  41 667*15=625 000 руб.

  41 667*10=417 000 руб.

Ответ: 1 458 000, 625 000, 417 000.

Задача 2. Число 680 разделить обратно пропорционально числам 0,5 0,75 и .

Решение:

Чтобы разделить число обратно пропорционально ряду чисел, нужно числа заменить обратными (перевернуть). И разделить прямо пропорционально новому ряду чисел.

Найдем числа обратные денным: 0,5 = - обратное 2,

0,75 -
- обратное , - обратное .

1) найдем сумму чисел:
,

2) найдем коэффициент пропорциональности:
.

3) найдем каждую часть

Ответ: 300, 200, 180.

Задача 3.

Дневная заработная плата трех рабочих бригады составила, 1000 руб, 1200 руб и 1250 руб. определите средний заработок по бригаде за 22 рабочих дня.

Решение: Среднее арифметическое:
, применяется в том случае, если показатели встречаются по одному разу. Х – средняя величина, х 1 , х 2 , х 3, … - показатели, на которых выводится средняя величина, n – число вариантов.

Найдем средний заработок за 1 день:
.

Найдем средний заработок за 22 дня. руб.

Ответ: 25 520.

Среднее арифметическое взвешенное: применяется тогда, когда показатели, из которых выводится среднее значение, встречаются неодинаковое число раз.

Т.е. Х – среднее арифметическое взвешенное, х 1 , х 2 , х 3 … - показатели, р 1 , р 2 , р 3, … - числа, показывающие, сколько раз повторяется каждый показатель.

Пример: При выполнении контрольной работы по математике были получены следующие результаты:

Оценка

Число повторений

Найдите средний бал за контрольную работу по математике.

.

Ответ: 3,17

Задача 4.. Чтобы сварить сироп, взяли 2кг сахара, 3,5 кг ягод и 4,5кг воды. Сколько процентов от массы сиропа составляет сахар?

Решение: Найдем массу сиропа: 2+3,5+4,5=10 кг. 10 кг – это 100%, 2 кг – это х%

Ответ: 20%.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

Задание 1. Число 580 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 0,2 и 0,7

Задание 2. Разделите число 800 обратно пропорционально числам 2, 0,2 и 0,4.

Задание 3. Купили 3 кг конфет по цене 300 рублей за килограмм, 5 кг - по 230 рублей; 6 кг - по 460 рублей и 8 к - по 160рублей определите среднюю стоимость килограмма конфет.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Хлеб теряет при остывании 4% массы в результате испарения воды. Сколько килограмм воды испарится при остывании 12т. Хлеба

Вариант 2.

Задание 1. Число 440 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 0,3; 0,2 и 0,6

Задание 2. Разделите число 790 обратно пропорционально числам: 5; 0,8 и 0,4.

Задание 3. Ателье закупили 20м ситца по цене 40 рублей за метр, 15 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 12 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Банк выплачивает 10% годовых. Какая сумма будет на счету через два года, если вкладчик вложил 10 000 рублей.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 3

Задание 1. Число 372 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 5, 0,4; 0,8

Задание 2. Разделите число2700 обратно пропорционально числам 2; 0,2 и 0,5

Задание 3. При выполнении контрольной работы были получены следующие результаты: оценку «5» получили трое учащихся, «4» – 12 человек; «3» - 20 человек, «2» - 3 человека. Найдите средний балл группы.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Стоимость покупки вместе с доставкой 23000 руб. причем стоимость доставки составляет 15% от стоимости товара. Найдите стоимость товара.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 4

Задание 1. Число 1564 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 2, 0,8

Задание 1. Разделите число 462 обратно пропорционально числам: 2; 5; и 2,5

Задание 3. В аттестате ученика следующие результаты: шесть пятерок, две четверки и десять троек. Найдите средний балл аттестата.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Цену билета в кинотеатре – 200 руб, повысили на 15%, но в связи с низкой посещаемостью новую цену снизили на 10%. На сколько рублей изменилась первоначальная цена

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 5.

Задание 1. Число 1140 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 4 и 0,6

Задание2 Разделите число 600 обратно пропорционально числам: 2; 4; и 0,8

Задание 3. При испытании приборов в лаборатории, было установлено что прибор А работает без подзарядки 12 часов, прибор В – 11 часов, прибор С – 19 часов, прибор D – 8 часов, прибор F – 15 часов. Найдите среднюю продолжительность работы прибора.

Задание 4. Решите задачу на проценты: В первый день велосипедист проехал 32% пути, во второй в 1,5 раза больше чем в первый, а в третий оставшиеся 60 км. Найдите продолжительность маршрута.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 6.

Задание 1. Число 697 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 0,7 и 0,4

Задание 2. Разделите число 864 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,4

Задание 3. В бригаде 10 человек получают заработную плату 15000 рублей, 12 человек по 24000 рублей, 15 человек по 20000 рублей и 13 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 7

Задание 1. Число 2725 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 7, 0,9 и 3

Задание 2. Разделите число 325 обратно пропорционально числам: 8; 0,8 и 4

Задание 3 Ученик, засекая время которое он тратит на дорогу от дома до техникума, получил следующие результаты: понедельник - 24 минуты, вторник – 25 минут, среда - 23 минуты, четверг – 20 минут, пятница – 25 минут. Определите, сколько времени в среднем тратится на путь?

Задание 4. Решите задачу на проценты. Клиент взял в банке кредит 300 000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 8.

Задание 1. Число 325 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2; 4 и 0,5

Задание 2. Разделите число 2280 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,2

Задание 3. На оплату мобильной связи за месяц ушло: январь - 230 рублей; февраль – 200 рублей; март - 250 рублей; апрель – 200 рублей; май – 300 рублей; июнь – 600 рублей; июль – 100 рублей; август – 300 рублей; сентябрь – 220 рублей; октябрь – 200 рублей; ноябрь – 400 рублей; декабрь – 560 рублей. Определите сколько в среднем за месяц уходит на оплату мобильной связи

Задание 4. Решите задачу на проценты. Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант9.

Задание 1. Число 732 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 0,6 и 1,5

Задание 2. Разделите число 1045 обратно пропорционально числам: 8; 10 и 0,2

Задание 3. Ателье для пошива детской одежды закупили 30м ситца по цене 40 рублей за метр, 25 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 40 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 10.

Задание 1. Число 936 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 2,5 и 0,7

Задание2. Разделите число 910 обратно пропорционально числам: 0,1; 2 и 0,4

Задание 3. В бригаде 35 человек получают заработную плату 25000 рублей, 12 человек по 22000 рублей, 35 человек по 20000 рублей и 18 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Килограмм товара стоил 64 рубля. После снижения цены он стал стоить 60 рублей. На сколько процентов снижена цена?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?