Есть ли противоположное число у 0. Противоположные числа, определение, примеры

§ 1 Понятие положительного числа

В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число, а еще, что такое целые и рациональные числа.

Начнем с практической работы. На координатной прямой отметим точки А(2) и В(-2). Они симметричны и центром симметрии данных точек является начало координат О(0), так как расстояние ОА=ОВ.

Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат - это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

Есть еще одно определение противоположных чисел. Чему равны модули чисел 2 и -2? Равны 2. Следовательно, противоположные числа - это числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком.

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, числу -25 противоположно число −(−25), но числу -25 на координатной прямой противоположно 25, значит -(-25) = 25. Из этого следует, что -(-а) = а и а =-(-а).

§ 2 Свойства противоположных чисел

Выделим некоторые свойства противоположных чисел.

Число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.

Если число a противоположно числу b, то b противоположно a - это следует из свойства симметричности точек на координатной прямой.

Обратимся к координатной прямой. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричных данной относительно начала координат? Только одну. Значит, для каждого числа есть только одно противоположное число.

Лишь одно число противоположно самому себе - это число 0, поскольку 0=-0 (поэтому -0 писать не принято).

Числа с общим признаком образуют множество (или группу), каждое множество имеет свое название.

Вспомним, числа, которые мы используем при счете, называются натуральными, они образуют множество натуральных чисел.

Каждому натуральному числу можно найти противоположное число. Натуральные числа, числа им противоположные, и число 0 называют целыми числами.

Положительными или отрицательными могут быть и дробные числа. Все целые числа и все дроби называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел.

Выделим еще две группы чисел. Возьмем координатную прямую. Если убрать часть прямой, на которой находятся отрицательные числа, останется луч с положительными числами и началом отсчета числом 0. Оставшиеся числа называют неотрицательными, то есть числа, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительные числа - это все отрицательные числа и число 0, то есть числа, которые меньше или равны 0.

Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, научились находить число, противоположное данному.

Список использованной литературы:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
4. Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
5. Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru

Интересное понятие из школьного курса обучения - это противоположные числа, рассматривать которые можно как математически, так и геометрически. Понимание данной темы упрощает изучение математики, позволяет быстрее справляться с некоторыми задачами - поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.

В чем заключается суть термина?

Чтобы понять смысл противоположных чисел, на минуту обратимся к геометрии. Нарисуем прямую координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим еще две отметки на прямой - например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Само собой, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым - и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» отстоят от нуля на одно и то же расстояние, но в разных направлениях - соответственно, они являются полностью противоположными друг другу.

В этом и заключается суть. Числа могут быть сколько угодно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако каждое из них обладает неким числом, составляющим его полную противоположность. Определение можно дать следующее - если на прямой координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить к началу отсчета равное расстояние - эти точки, а точнее, соответствующие им числа, будут противоположны.

Какие правила можно вывести из определения?

Стоит запомнить несколько безусловных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:

• Принцип противоположности для двух чисел работает в обе стороны. Например, числу 3 противоположно число -3 - и поэтому числу -3 противоположно только число 3, а не какое-нибудь другое.
• У числа не может быть двух противоположностей - таковая всегда только одна.
• Противоположными друг другу могут быть числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком «минус» - например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону - для числа со знаком «минус» противоположным всегда будет то, что со знаком «плюс» - например, -6 и 6.
• Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение, или модуль. Иными словами, если для числа 4

В этой статье мы изучим противоположные числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по странице.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет .

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число , следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .

Определение.

Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел .

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .

Приведем примеры противоположных чисел . Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел . Числа и - это противоположные рациональные числа . Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных

Противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n"\; =\; -n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули , но противоположные знаки . В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Показательная	$re^\{i\; \backslash varphi\}$	$-re^\{i\; \backslash varphi\}$

Противоположное к мнимой единице

$\backslash frac\{1\}\{i\}=\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; i\}\{i\; \backslash cdot\; i\}=\backslash frac\{i\}\{i^2\}=\backslash frac\{i\}\{-1\}=-i$

Таким образом, получаем

$-i\; =\; \backslash frac\{1\}\{i\}$__ или__ $-i\; =\; i^\{-1\}$

Аналогично для $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{i\}$ __ или __ $i\; =\; -i^\{-1\}$

Напишите отзыв о статье "Противоположное число"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Противоположное число

«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.