Дифференциальные уравнения для "чайников". Примеры решения. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики , УМФ ) - дифференциальное уравнение , содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.

✪ Уравнения математической физики. Шаньков В.В. Весенний семестр. Лекция №1

✪ Методы математической физики. Тихонов Николай Андреевич (Лекция 10)

✪ 8 Дифференциальные уравнения в частных производных Mathcad

✪ Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможение

Субтитры

Введение

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Задачи доказательств существования и нахождения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация линейных уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Две независимые переменные

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: ∂ u / ∂ x {\displaystyle {\partial u}/{\partial x}} и ∂ u / ∂ y {\displaystyle {\partial u}/{\partial y}} . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта D = B 2 − A C {\displaystyle D=B^{2}-AC} , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

Более двух независимых переменных

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

оно может быть классифицировано в заданной точке M 0 (x 1 0 , ⋯ , x n 0) {\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов λ i {\displaystyle \lambda _{i}} в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке M 0 {\displaystyle M_{0}} ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип
   1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши - Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви , ). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π {\displaystyle \pi } для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной , так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных доказательства существования решений и поиск многообразий всех решений проводятся с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне относится к параболическому типу и имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

U (0 , x) = f (x) {\displaystyle u(0,x)\,=f(x)} ,

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Уравнение относится к гиперболическому типу. Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f {\displaystyle f} комплексной переменной z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области ∂ S {\displaystyle \partial S} - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

• Используя функцию Грина ;
• Используя метод разделения переменных Фурье;
• С помощью теории потенциала ;
• Используя формулу Кирхгофа .

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).

Ранее рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения зависят лишь от одной переменной: ,
и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называютсяуравнениями с частными производными .

К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др., аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для уравнений с частными производными.

Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t , то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются.

Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени.

Таким образом, математические модели физических и иных процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Аргументами функций этих уравнений являются пространственные координаты
и время.

Уравнения первого порядка. Уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса. Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т. п.

Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция зависит от времении одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

.

Здесь ‑ скорость переноса.

Уравнения второго порядка. Линейным уравнением в частных производных второго порядка называется соотношение между функцией
или
и ее частными производными вида.

(1)

Если переменная функция зависит оти, то уравнение может быть записано следующим образом:

(2)

В случае если
, то уравнения 1-2 называются однородными, иначе ‑ неоднородными.

Если
, то уравнение (2) относится к классу эллиптических уравнений;

если
, то ‑ это гиперболическое уравнение;

если
‑ параболическое уравнение.

Когда
не имеет постоянного знака, получается уравнение смешанного типа.

К классическим эллиптическим уравнениям относятся:

Уравнение Лапласа
, которое используется для описания магнитных и стационарных тепловых полей;

Уравнение Пуассона
, которое применяется в электростатике, теории упругости и других науках;

Уравнение Гельмголъца
, описывающее установившиеся колебательные процессы.

Оператор Лапласа:

в одномерном случае
;

в двумерном случае
;

в трехмерном случае
.

Среди гиперболических уравнений можно выделить:

Волновые уравнения:

одномерное
, которое описывает вынужденные колебания струны;

двумерное
, которое описывает колебания мембраны.

Телеграфное уравнение , которое описывает изменение потенциалав линиях электропередачи. Здесь
- коэффициент самоиндукции, емкость, сопротивление, характеристика потерь на единицу длины линии.

К классическим параболическим уравнениям относится уравнение теплопроводности
.

Для нахождения единственного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо задать начальные и граничные условия. Начальными условиями принято называть условия, заданные в начальный момент времени . Граничные условия задаются при различных значениях пространственных переменных. Для эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые можно разделить на три класса:

Условие Дирихле
- в этом случае на границе области Г, в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция. В одномерном случае это условие принимает вид:
и
где
- интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;

Условие Неймана
- в этом случае на границе области Г задана производная по направлениювнешней нормали;

Смешанное условие
.

Для параболических уравнений, кроме граничных условий, необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.

В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть следующими
и
.

Решение ряда дифференциальных уравнений в частных производных может быть получено аналитически. Одним из наиболее часто используемых методов является метод разделения переменных (метод Фурье). Рассмотрим этот метод подробнее.

О методах решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение простейших задач для уравнений с частными производными в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами , рассматриваемыми в соответствующих разделах математики. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать общие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное значение для построения численных методов. Проверка разностных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.

Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приближенно считаются равными значениям искомых функций.

Приведенные уравнения называются уравнениями математической физики . К их решению сводятся многие прикладные задачи. Прежде чем переходить к обсуждению численных методов решения указанных уравнений, рассмотрим основные вопросы построения разностных схем.

2. Введение в сеточные методы, понятия сетка, шаблон, слой.

О построении разностных схем. Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнений с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками.

Пример простейшей прямоугольной области G(x, у) с границей Г в двумерном случае показан на рис 1,а . Стороны прямоугольника
,
делятся на элементарные отрезки точками
,
и
,
. Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых
,
образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (
), определяется координатами (
).

а б

Рис. 1. Прямоугольная сетка (а ), элемент трехмерной сетки (б )

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G , называются граничными узлами. Все остальные узлы ‑ внутренними.

Аналогично вводятся сетки для многомерных областей. На рис. 1,б показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области.

Шаблон – комбинация используемых узлов

Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для областей сложной формы. Тогда либо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, либо границу приближенно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносятся граничные условия.

В ряде случаев сложные криволинейные области с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду. Например, четырехугольную область G , изображенную на рис. 2, можно привести к единичному квадратуG" путем введения новых переменных £, ц вместо #, у с помощью соотношений

К новым переменным нужно преобразовать уравнения, а также начальные и граничные условия. В области G" можно ввести прямоугольную сетку, при этом в областиG ей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками,

В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (
). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат: полярной, цилиндрической, сферической н др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (
), то в ней сетка вводится с шагами
и
соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций).

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону (см. гл. 3, § 1). При этом точные значения искомой функции U заменяются значениями сеточной функции и в узлах разностной сетки.

В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде

,(6)

где
‑ начальное распределение температурыU (приt = 0);
‑ распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = 0, 1) в любой момент времениt . Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.,.

Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
,
и
,
,и‑ соответственно шаги сетки по направлениямх иt . Значения функции в узлах сетки обозначим
. Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функциикоторые удовлетворяют разностной схеме.

Заменяя в исходном уравнении (6) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему

(7)

В записи этой схемы для каждого узла использован шаблон, изображенный на рис. 2, а .

Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изображенным на рис. 2, б , то вместо (7) получим разностную схему

(8)

И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий

Совокупность узлов при t = const, т. е. при фиксированном значении, называетсяслоем . Схема (7) позволяет последовательно находить значения
,
на
-м слое через соответствующие значенияна-м слое. Такие схемы называютсяявными .

Для начала счета при j = 1 необходимо решение на начальном слое. Оно определяется начальным условием

В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (8) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными . При этом разностная схема (8) состоит из линейных трехточечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонкb, в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах.

Заметим, что в рассмотренном примере мы получаем двухслойные схемы , когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев ‑ нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.

С помощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности.

Уравнение Лапласа. Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравненияПуассона вида

1

Если
, то это уравнение называется уравнениемЛапласа . Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

2

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области G изменения независимых переменныхх, у . Границей областиG является замкнутая линияL . Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границеL . Примем его в виде

3

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле .

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи, является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях t близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называетсяметодом установления .

Поскольку решение U (х, у) нашего уравнения (2) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член. Тогда уравнение (2) примет вид

4

Это ‑ известное нам уравнение теплопроводности, для которого уже строились разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим

5

Граничное условие (3) при этом остается стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Процесс численного решения уравнения (4) с условиями (3), (5) состоит в переходе при
от произвольного значения (5) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом, если искомые значения на двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи, причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи.

Для решения задачи Дирихле можно также построить разностную схему путем аппроксимации уравнения (2). Введем в прямоугольной области G сетку с помощью координатных прямых х = const и у = const. Примем для простоты значения шагов по переменнымх иу равнымиh (предполагается, что стороны области G соизмеримы). Значения функцииU в узлах
заменим значениями сеточной функции. Тогда, аппроксимируя в уравнении (2) вторые производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен на рис.):

(6)

Данное уравнение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. Эту систему можно записать в виде

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (3):

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Каждое уравнение системы (7) (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения в центральном узле (см. рис.):

Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций. Если его величина достигнет некоторого заданного малого числа , итерации прекращаются.

Решение уравнения Лапласа в Mathcad. Для решения уравнений Лапласа и Пуассона вMathcadпредусмотрены встроенные функцииrelax иmultigrid .

3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей.

4. Решение эллиптических, параболических и гиперболических уравнений.

5. Нестационарные задачи.

6. Построение явной и неявной разностных схем для одномерного уравнения теплопроводности.

7. Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.

8. Метод прогонки.

9. Аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод прямых).

10. Стационарные задачи, разностные схемы, счет на установление.

11. Вариационно-разностные методы.

12. Метод конечных элементов.

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип
   1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции комплексной переменной являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины . Будем считать, что на концах струны функция обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от , левая - от , следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через :

Отсюда находим уравнение для :

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания :

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций и в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции :

Если имеется функция , то частичная производная будет следующая:

Так как мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

Тогда предыдущие выражения можно записать так: ,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: , - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке . Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: .

Дополнительные условия задаются в виде: , , , ,

Где и - позиции концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):

Теоретический минимум

В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются
на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго
порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям.

Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида:
,
где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е.
(это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших
коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. Пример будет приведён позже.
В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет
собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю
нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных
коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих
трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных.
При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно,
положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат
к одному типу классификации.
Перечислим основные классы уравнений:
- гиперболическое
- параболическое
- эллиптическое
- ультрагиперболическое
- эллиптико-параболическое
Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются.

Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы
равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака.
Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак.

Примеры уравнений различных типов

Пример 1. Уравнение теплопроводности .

Уравнение параболического типа.

Пример 2. Волновое уравнение .

Уравнение гиперболического типа.

Пример 3. Уравнение Пуассона .

В частности, если справа стоит нуль, то получается уравнение Лапласа.

Пример 4. Уравнение Гельмгольца .

Уравнение эллиптического типа.

Пример 5. Уравнение Трикоми .

Если , то уравнение эллиптическое; если , то уравнение параболическое; если , то уравнение гиперболическое.

Подробнее рассмотрим случай, когда неизвестная функция имеет всего два аргумента:
.
Коэффициенты являются функциями переменных и (в принципе, возможна зависимость и от неизвестной функции (в этом случае уравнение
будет квазилинейным; мы ограничиваемся линейными уравнениями). Уравнение общего вида может быть упрощено путём замены независимых переменных -
приведено к каноническому виду. Этот канонический вид, как и вид замены определяется характеристическим уравнением
.
Характеристическое уравнение, будучи квадратным уравнением относительно производной сразу распадается на два.

Знак подкоренного выражения и определяет тип уравнения.

Гиперболические уравнения
Это случай, когда . Общие интегралы характеристического уравнения .
Выполняется замена .

Параболические уравнения
.
Выполняется замена , где - произвольная дважды дифференцируемая функция, для которой выполняется
условие .

Эллиптические уравнения
Это случай, когда . Общий интеграл характеристического уравнения . Выполняется замена
.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых требуется привести уравнение к каноническому виду. Центральную роль в этих примерах играет техника
замены переменных, потому что саму замену указать обычно довольно просто. Совсем просто выполняется линейная замена переменных (случай уравнения с
постоянными коэффициентами).
Замечание . Разумеется при замене переменных есть некоторая свобода. Например, в любом случае замена определяется с точностью до знака, не играющего существенной роли в
преобразовании производных. Также неоднозначность вносит в случае параболического уравнения свобода выбора второй функции для замены переменных, ограниченная весьма
слабыми условиями.

Примеры приведения уравнений второго порядка к каноническому виду

Пример 1. Случай линейной замены переменных в уравнении гиперболического типа .

.
Исходное уравнение, таким образом, относится к гиперболическому типу. Находим общие интегралы найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные. В данном случае можно считать, что функция зависит от переменных ,
которые в свою очередь зависят от старых переменных :




.

.

Пример 2. Случай линейной замены переменных в уравнении эллиптического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к эллиптическому типу. Находим общий интеграл любого из найденных уравнений:
.
Вводим замену . Преобразуем производные совершенно аналогично тому, как это делалось в примере 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим
.

Пример 3. Случай линейной замены переменных в уравнении параболического типа .

Составляем характеристическое уравнение:
.
Исходное уравнение, таким образом, относится к параболическому типу. Находим общий интеграл найденного уравнения:
.
Отсюда понятно, какой может быть выбрана одна переменная: . Вторую переменную следует выбрать самостоятельно.
Обычно её выбирают наиболее простой, чтобы не усложнять вычисления. Рассмотрим два варианта, чтобы посмотреть, как влияет выбор второй
переменной на окончательный вид уравнения. Сначала положим . Снова преобразуем производные аналогично примеру 1.



После подстановки этих производных в исходное уравнение получим